מספר הפתרונות השלמים האי שליליים

מתמטיקה
1

בשאלה זו עליכם להציג פתרון מנומק. הצבה בנוסחה אינה מתקבלת ללא הסבר מפורט.
א. חשבו את מספר הפתרונות השלמים האי שליליים של המשוואה:

X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6=11

ב. חשבו את מספר הפתרונות השלמים האי שליליים של אי השוויון:

X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6\leq11

ג. חשבו את מספר הפתרונות השלמים האי שליליים של אי השוויון:

X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6<11

ד. חשבו את מספר הפתרונות השלמים האי שליליים של המשוואה:

X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6=50

כאשר לכל i\in[1,6] מתקיים X_i\geq i.

מה הפתרון ומה היא שיטת הפעולה בשאלות מסוג זה?:thinking:

2

שלום @Elad, ברוך הבא לפורום!
אנא קרא את חוקי הפורום. במידה ואתה רוצה לקבל עזרה, עלייך:

  1. לפרסם כל שאלה בפוסט נפרד (גם אם הן דומות). הרצינול מאחורי חוק זה הוא כדי שבעתיד יהיה יותר קל לחפש פתרונות.
  2. במידה ואתה לא מכיר \LaTeX, אתה מוזמן להסתכל במדריך או לשלוח הודעה לאחד המשתמשים או המנהלים שכן יודעים. אחרת, קשה להבין את התרגיל שכתבת.
  3. כשאתה מפרסם שאלה, אנא הסבר מה ניסית לעשות, איפה נתקעת ואיזה כלים עומדים ברשותך. אם תשקיע את המינימום כדי להסביר זאת, אתה תקבל את מלוא העזרה.
  4. להשתמש במנוע החיפוש כדי לנסות למצוא תרגילים דומים. לדוגמה: כמה פתרונות שלמים יש למשוואה.

הפעם אני אעזור לך עם התרגיל, אבל בבקשה שים לב להבא!

סעיף א’
הבעיה שקולה לחלוקה של 11 כדורים ב-6 תאים שונים. לכן מספר האפשרויות הינו:

{11+6-1 \choose 11}=4368

כלומר, מספר הפתרונות השלמים האי-שליליים של המשוואה הנתונה הינו 4,368.

סעיף ב’
נגדיר את X_7 להיות משתנה-דמה אשר יקבל את כל הפתרונות שלא חולקו לשאר ה-X_i-ים. כלומר, הבעיה שקולה למספר הפתרונות השלמים האי-שליליים של המשוואה:

X_1+X_2+X_3+X_4+X_5+X_6+X_7=11

בדומה לסעיף הקודם, הבעיה שקולה לחלוקה של 11 כדורים ב-7 תאים שונים. לכן מספר האפשרויות הינו:

{11+7-1 \choose 11}=12376

כלומר, מספר הפתרונות השלמים האי-שליליים של האי-שוויון הנתון הינו 12,376.

סעיף ג’
הבעיה שקולה למספר הפתרונות השלמים האי-שליליים של המשוואה הבאה:

X_1+X_2+X_3+X_4+X_5+X_6\leq10

בדומה לסעיף הקודם, בעיה זו שקולה למספר הפתרונות השלמים האי-שליליים של המשוואה (ע"י הוספת משתנה-דמה X_7):

X_1+X_2+X_3+X_4+X_5+X_6+X_7=10

שזה שקול לחלוקה של 10 כדורים ב-7 תאים שונים. לכן מספר האפשרויות הינו:

{10+7-1 \choose 10}=8008

כלומר, מספר הפתרונות השלמים האי-שליליים של האי-שוויון הנתון הינו 8,008.

סעיף ד’
נתון כי לכל 1\leq i\leq 6 מתקיים X_i\geq i ולכן נגדיר Y_i=X_i-i. לפיכך לכל 1\leq i\leq 6 מתקיים Y_i\geq0. אי-לכך, נוכל להסיק כי הבעיה שקולה למספר הפתרונות השלמים האי-שליליים של המשוואה הבאה:

Y_1+Y_2+Y_3+Y_4+Y_5+Y_6=50-(1+2+3+4+5+6)

כלומר של המשוואה:

Y_1+Y_2+Y_3+Y_4+Y_5+Y_6=29

בדומה לסעיפים הקודמים, בעיה זו שקולה לחלוקה של 29 כדורים ב-6 תאים שונים. לכן מספר האפשרויות הינו:

{29+6-1 \choose 29}=278256

כלומר, מספר הפתרונות השלמים האי-שליליים של המשוואה הנתונה הינו 278,256.