נתונה הפונקציה הבאה:
f(x,y) = |x|\cdot \ln\left(x^2 + y^2\right)
אני צריכה להוכיח כי מתקיים \lim f(x,y)=0 כאשר x ו-y שואפים לאפס.
חשבתי להחליף לקורדינאטות פולריות, אבל ניסתי ולא הצלחתי.
אשמח ממש לעזרה.
תודה.
כפי שהצעת, נמיר את הקואורדינטות הקרטזיות (x,y) לקואורדינטות קוטביות (r,\theta), כאשר מתקיים x=r\cos(\theta) וגם y=r\sin(\theta) (כאשר מתקיים r=\sqrt{x^2+y^2}). בקואורדינטות קוטביות ובעזרת חוקי הלוגריתמים, הביטוי הופך להיות:
|x|\cdot \ln\left(x^2+y^2\right)=|r\cos(\theta)|\ln\left(r^2\right)=2|r\cos(\theta)|\ln(r)
כמו כן, כאשר (x,y)\to(0,0), הקואורדינטה הרדיאלית r מתקרבת לאפס. לפיכך, עלינו לבחון את הגבול:
\lim_{r\to 0}2|r\cos(\theta)|\ln(r)
מכיוון ו-∣\cos(\theta)∣ חסום מלעיל ב-1 וחסום מלרע ע"י -1, נקבל:
-r\leq|r\cdot \cos(\theta)∣\leq r\
לכן נקבל:
-2r\ln(r)\leq2|r\cos(\theta)|\ln(r)\leq2r\ln(r)
מאחר ומתקיים \lim_{r\to0}r\ln(r)=0 (למשל בעזרת כלל לופיטל) נקבל ע"פ משפט הסנדוויץ כי מתקיים:
\lim_{r\to 0}2|r\cos(\theta)|\ln(r)=0
מכיוון שהגבול מתקיים בקואורדינטות קוטביות, הוא מתקיים גם בקואורדינטות קרטזיות:
\lim_{(x,y)\to(0,0)}|x|\cdot \ln\left(x^2 + y^2\right)=0
כנדרש.