ביטויים אלגבריים של מסלולים תוך שימוש במשפט פיתגורס

[Daniel1]

נחזור לשאלה של הכיכר הריבועית שאורך צלעה הוא a. במרכז הכיכר יש ערוגה ריבועית שאורך צלעה הוא b ואשר עליה אסור לדרוך (ניתן להלך על הצלעות שלה).
להלן ביטויים אלגבריים לאורך של המסלולים. התאימו כל ביטוי למסלולו.
הביטויים:

2\sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 +\left(\frac{a-b}{2}\right)^2} \ \ \ \ \ \sqrt{2}(a-b)+2b \ \ \ \ \ 2a

השרטוטים:

כיצד אני יכול להתאים את המשוואות למסלולים?

[marbd]

נוסיף מספר סימונים:

נתחיל מהמסלול הפשוט - מסלול מספר 2. מסלול זה נע על צלעות הריבוע החיצוני. ידוע כי אורך הצלעות של הריבוע החיצוני הוא a. מאחר והמסלול מתפרס על שתי צלעות של הריבוע החיצוני נובע כי מסלולו הוא 2a.
עתה, נתובנן על מסלול מספר 4. נחשב את אורך הצלע MN בעזרת משפט פיתגורס:

MN=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}a

נחשב את אורך הצלע BP:

BP=\sqrt{b^2+b^2}=\sqrt{2b^2}=\sqrt{2}b

לכן אורך מסלול 4 הינו:

\sqrt{2}a-\sqrt{2}b+2b=\sqrt{2}(a-b)+2b

כעת, נתבונן על מסלול מספר 3. נשים לב כי מתקיים:

MS=BS=PQ=NP=\frac{a-b}{2}

לפיכך, נוכל להסיק כי אורכו של מסלול מספר 3 הינו:

\sqrt{2}(a-b)+\sqrt{2}(a-b)+b+b+\sqrt{2}(a-b)+\sqrt{2}(a-b)=2a

נותר למצוא את את אורכו של מסלול מספר 4. נשים לב כי מתקיים:

MR=LN=\left(\frac{a-b}{2}\right) +b=\left(\frac{a+b}{2}\right) \ \ \ PR=PQ=\left(\frac{a-b}{2}\right)

לכן, ע"פ משפט פיתגורס נקבל:

MP=PN=\sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}

לכן, נוכל למצוא את אורך מסלול מספר 4:

2\sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}

מקווה שהכל מובן