תהיינה A מטריצה מסדר m\times n ו-B מטריצה מסדר n\times p שונה ממטריצת האפס. נניח שמתקיים AB=0.
א. הוכיחו כי קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית Ax=0.
ב. נניח כי A\neq0. האם בהכרח גם למערכת ההומוגנית Bx=0 קיים פתרון לא טריוויאלי?
אם כן, הוכיחו, אם לא, תנו דוגמה נגדית.
ג. סעיף זה מעל הממשיים \mathbb{R}. בעזרת סעיף א’ בלבד, מצאו דוגמה למטריצה B מסדר 4\times 5 המקיים B\neq 0 ו-AB=0, כאשר מתקיים:
A=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 1 & 7 & 1\\
0 & 0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
אשמח לעזרה עם הסעיף הראשון והשלישי.
בסעיף הראשון ניסיתי להניח בשלילה שקיים פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית Ax=0 ולנסות להגיע לסתירה אבל די נתקעתי בדרך. בסעיף השלישי, אני לא מצליח לחשוב על דוגמה למטריצה שאפשר להשתמש.