שלום, אני מנסה לפתור את השאלה הבאה:
תהיינה A מטריצה מסדר m\times n ו-B מטריצה מסדר n\times p שונה ממטריצת האפס. נניח שמתקיים AB=0.
א. הוכיחו כי קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית Ax=0.
ב. נניח כי A\neq0. האם בהכרח גם למערכת ההומוגנית Bx=0 קיים פתרון לא טריוויאלי? אם כן, הוכיחו, אם לא, תנו דוגמה נגדית.
אשמח לעזרה עם שאלה זו בסעיף ב’. אשמח לכיוון, לאו דווקא פתרון.
תודה רבה!
שים לב כי כבר שאלו את השאלה הנ"ל בעבר (אם כי לא את סעיף ב’) אז היא עלולה להביא לך אינדיקציה טובה כיצד לגשת לשאלה. נפתור את סעיף ב’:
דרך לפתרון: לא בהכרח קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת Bx=0. עלייך לחשוב על זוג מטריצות A ו-B כך ש-B אינה מטריצת האפס, מכפלת המטריצות אינה מטריצת האפס ולמערכת Bx=0 יש פתרון טריוויאלי בלבד.
פתרון מלא: לאו דווקא קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת Bx=0 שכן יתכן וקיים הפתרון הטריוואלי בלבד. כך לדוגמה, נתובנן על על המטריצות הבאות:
מכפלת המטריצות A ו-B היא מטריצת האפס, כלומר AB=0. כמו כן מטריצה B אינה מטריצת האפס. בנוסף לכך, למערכת Bx=0 יש פתרון טריוויאלי בלבד.