שלום איתי, איפה נתקעת?
כאשר מעלים שאלה בפורום, אתה מתבקש להעלות ניסיון אישי והסבר איפה נתקעת.
עם זאת, אפתור את מערכת המשוואות הנ"ל לטובת הדורות הבאים. אם אתה נמצא בתחילת דרכך בפתירת מטריצות, ממליץ לעבור על כל שלב שיתואר ולוודא שאתה מבין אותו.
הרעיון הוא לקחת את המקדמים של הנעלמים ולשים במטריצה:
\begin{cases}
x_{2}+x_{3}+x_{4}=3\\
2x_{1}-x_{2}-2x_{3}=-3\\
3x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=-1\\
x_{1}+x_{2}-x_{3}=0\\
4x_{3}+x_{4}=5
\end{cases}\Rightarrow\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 1 & 3\\
2 & -1 & -2 & 0 & -3\\
3 & -1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 4 & 1 & 5
\end{pmatrix}
עתה נדרג את המטריצה. הרעיון הוא להגיע למצב של מטריצת מדרגות.
מטריצה תקרא מטריצה מדורגת אם היא מקיימת את התנאים הבאים:
- שורות האפסים מופיעות מתחת לשורות שאינן שורות אפסים.
- האיבר המוביל בשורה ה- i נמצא משמאל לאיבר המוביל בשורה ה- i+1 (השורה שמתחתיו).
דוגמה למטריצת מדרגות:
\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 & 7\\
0 & 1 & 0 & 3\\
0 & 0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
לאחר שנגיע למטריצת מדרגות, נחליט אם נרצה להגיע למטריצה קנונית.
על מנת לדרג את המטריצה, נשתמש בשלוש פעולות אפשריות:
- החלפה בין שתי שורות.
- הכפלה של שורה בסקלר השונה מאפס, ששייך לשדה שהמטריצה מעליה. (כלומר הכפלת כל האיברים בשורה מסוימת בסקלר).
- חיסור או חיבור של שורה המוכפלת בסקלר בשורה אחרת.
פעולות אלה נקראות פעולות אלמנטריות .
נחזור לתרגיל ונדרג את המטריצה שקיבלנו. אנו נעדיף שבאינדקס הראשון של השורה הראשונה לא יהיה אפס ולכן נבצע החלפה בין השורה הרביעית לראשונה. בחרנו בשורה הרביעית בגלל המקדם 1 שכן בעזרתו יהיו חישובים פשוטים יותר. לכן נקבל:
\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 1 & 3\\
2 & -1 & -2 & 0 & -3\\
3 & -1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 4 & 1 & 5
\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & 0\\
2 & -1 & -2 & 0 & -3\\
3 & -1 & -1 & 1 & -1\\
0 & 1 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 4 & 1 & 5
\end{pmatrix}
עתה, כדי שנקבל את מטריצת המדרגות, נרצה לאפס את האינדקסים הראשונים של כל השורות 2\leq i \leq 5. מאחר והמקדם באינדקס הראשון של השורות ארבע וחמש הוא אפס נובע כי עלינו לאפס רק את המקדמים בשורה השנייה והשלישית. כדי לאפס את המקדם 2 באינדקס הראשון של השורה השנייה, נחסיר ממנו את המכפלה בין המקדם של השורה הראשונה ו-2. לשם כך, עלינו לבצע את הפעולה R_2\to R_2 -2\cdot R_1. באותו אופן, כדי לאפס את המקדם באינדקס הראשון של השורה הלישית, נבצע R_3\to R_3 -3\cdot R_1. שים לב כי השורה הראשונה של המטריצה אינה משתנה כתואצה מביצוע הפעולות הנ"ל. סה"כ נקבל:
\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & 0\\
2 & -1 & -2 & 0 & -3\\
3 & -1 & -1 & 1 & -1\\
0 & 1 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 4 & 1 & 5
\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & 0\\
0 & -3 & 0 & 0 & -3\\
0 & -4 & 2 & 1 & -1\\
0 & 1 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 4 & 1 & 5
\end{pmatrix}
כעת, נרצה לאפס את המקדם בעמודה השנייה, בכל השורות (מלבד השורה ההראשונה והשנייה). מאחר ומופיע המספר -3 באינדקס (2,2), נעדיף שיהיה המספר 1. נעדיף תמיד לעבוד עם חישובים פשוטים ולכן נרצה שהמקדם יהיה 1. כמו קודם, ניתן להחליף את השורה השנייה עם הרביעית, אולם ניתן גם לחלק את כל השורה השנייה ב--3. נעדיף את הפעולה הנ"ל במקרה ולא נגיע לשברים כי הם רק מסבכים את החישובים. לכן נבצע את הפעולה R_2 \to -\frac{1}{3}\cdot R_2:
\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & 0\\
0 & -3 & 0 & 0 & -3\\
0 & -4 & 2 & 1 & -1\\
0 & 1 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 4 & 1 & 5
\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & -4 & 2 & 1 & -1\\
0 & 1 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 4 & 1 & 5
\end{pmatrix}
עתה, נאפס את המקדמים בשורה השלישית והרביעית. שים לב כי כרגע אנו מעוניינים להגיע למטריצת מדרגות ולא קנונית. לכן נבצע את הפעולות R_3\to R_3+4\cdot R_2 ו-R_4\to R_4-R_2:
\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 2 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 4 & 1 & 5
\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 2 & 1 & 3\\
0 & 0 & 4 & 1 & 5
\end{pmatrix}
עתה נרצה לקבל מקדם 1 באינדקס (3,3). הפעם אם נחלק ב-2 נקבל שברים ולכן נחליף בין השורה השלישית והרביעית, כלומר נבצע R_4\leftrightarrow R_3:
\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 2 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1 & 1 & 4\\
0 & 0 & 4 & 1 & 5
\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 4\\
0 & 0 & 2 & 1 & 3\\
0 & 0 & 4 & 1 & 5
\end{pmatrix}
כעת, נאפס את המקדמים בשורה הרביעית והחמישית בעזרת ביצוע הפעולות R_4\to R_4-2\cdot R_3 ו-R_5\to R_5 -4\cdot R_3:
\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 2 & 1 & 3\\
0 & 0 & 4 & 1 & 5
\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & -1 & -1\\
0 & 0 & 0 & -3 & -3
\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 3 & 3
\end{pmatrix}
בפעולה אחרונה כפלנו את מקדמי השורה הרביעית והחמישית ב-(-1).
נאפס את המקדם בשורה החמישית בעזרת ביצוע R_5\to R_5-3\cdot R_4:
\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 3 & 3
\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
הגענו למטריצת מדרגות ואיפסנו את השורה החמישית. כעת נרצה להגיע למטריצה קנונית. תחילה, נאפס את המקדם 1 בעמודה השנייה של השורה הראשונה. לשם כך נבצע את הפעולה R_1\to R_1-R_2 ולאחר מכאן את הפעולה R_1\to R_1+R_3:
\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
בנוסף לכך, נאפס את המקדם 1 בעמודה הרביעית של השורה השלישית בעזרת ביצוע הפעולה R_3\to R_3-R_4:
\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
הגענו למטריצה קנונית. מטריצה זו שקולה למערכת המשוואות הבאה:
\begin{cases}
x_{1}=0\\
x_{2}=1\\
x_{3}=1\\
x_{4}=1
\end{cases}
כלומר למערכת המשוואות האי-הומוגנית קיים פתרון יחיד והוא הפתרון:
(x_1,x_2,x_3,x_3)=(0,1,1,1)
ממליץ לתרגל את הנושא כמה שיותר כדי להבין את החשיבה המצופה ממך.
מקווה שמובן ובהצלחה 