הוכחת אי-שוויון ברנולי

שלום לכולם, אני מנסה להוכיח את משפט אי-שוויון ברנולי:

לכל x\in \mathbb{R} המקיים x\geq -1 ולכל מספר טבעי n מתקיים:

(1+x)^n\geq 1+nx

כיצד עלי להוכיח את אי שוויון ברנולי?
תודה רבה על העזרה.

נקבע את x ונוכיח את הטענה באינדוקציה על n\in\mathbb{N}.
בסיס האינדוקציה (n=1): נשים לב כי מתקיים:

(1+x)^1=1+x= 1+1\cdot x

כלומר, הטענה מתקיימת שכן מתקיים שוויון בין שני האגפים.
הנחת האינדוקציה: נניח כי האי-שוויון מתקיים עבור n\in\mathbb{N}, כלומר נניח כי מתקיים:

(1+x)^n\geq1+nx

צעד האינדוקציה: נוכיח את נכונות הטענה עבור n+1, כלומר נראה כי מתקיים:

(1+x)^{n+1}\geq1+(n+1)x

מאחר ומתקיים x\geq -1 נובע 1+x\geq 0. לכן נכפיל את שני אגפי האי-שוויון ב-(1+x) כך שנקבל:

(1+x)(1+x)^n\geq(1+x)(1+nx)

לכן נוכל להסיק כי מתקיים:

(1+x)^{n+1}\geq(1+x)(1+nx)=1+x+nx+nx^2=1+(n+1)x+nx^2

מאחר ומתקיים nx^2\geq0 נובע:

(1+x)^{n+1}\geq1+(n+1)x

לכן האי-שוויון מתקיים עבור n+1 וצעד האינדוקציה הושלם.

הערה: במקרה x\geq0, אי-שוויון ברנולי נובע גם מנוסחת הבינום:

(1+x)^{n}=\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}1^{n-i}x^{i}=1+{n \choose 1}x+\sum_{i=2}^{n}{n \choose i}x^{i}

כאשר x אי-שלילי, כל הסכום \sum_{i=2}^{n}{n \choose i}x^{i} אי-שלילי ולכן נקבל:

(1+x)^{n}\geq1+{n \choose 1}x=1+nx