שלום לכולם, אני מנסה להוכיח את משפט אי-שוויון ברנולי:
לכל x\in \mathbb{R} המקיים x\geq -1 ולכל מספר טבעי n מתקיים:
(1+x)^n\geq 1+nx
כיצד עלי להוכיח את אי שוויון ברנולי?
תודה רבה על העזרה.
שלום לכולם, אני מנסה להוכיח את משפט אי-שוויון ברנולי:
לכל x\in \mathbb{R} המקיים x\geq -1 ולכל מספר טבעי n מתקיים:
(1+x)^n\geq 1+nx
כיצד עלי להוכיח את אי שוויון ברנולי?
תודה רבה על העזרה.
נקבע את x ונוכיח את הטענה באינדוקציה על n\in\mathbb{N}.
בסיס האינדוקציה (n=1): נשים לב כי מתקיים:
כלומר, הטענה מתקיימת שכן מתקיים שוויון בין שני האגפים.
הנחת האינדוקציה: נניח כי האי-שוויון מתקיים עבור n\in\mathbb{N}, כלומר נניח כי מתקיים:
צעד האינדוקציה: נוכיח את נכונות הטענה עבור n+1, כלומר נראה כי מתקיים:
מאחר ומתקיים x\geq -1 נובע 1+x\geq 0. לכן נכפיל את שני אגפי האי-שוויון ב-(1+x) כך שנקבל:
לכן נוכל להסיק כי מתקיים:
מאחר ומתקיים nx^2\geq0 נובע:
לכן האי-שוויון מתקיים עבור n+1 וצעד האינדוקציה הושלם.
הערה: במקרה x\geq0, אי-שוויון ברנולי נובע גם מנוסחת הבינום:
כאשר x אי-שלילי, כל הסכום \sum_{i=2}^{n}{n \choose i}x^{i} אי-שלילי ולכן נקבל: