הפתרון של @Zeta פשוט באופן מדהים אבל אציע כאן דרך נוספת בעזרת אי-שויון ברנולי. במקרה ואתה צריך, באחד הפוסטים הקודמים קיימת הוכחה לאי-השוויון: הוכחת אי-שוויון ברנולי.
קודם כל, נשים לב כי מתקיים:
\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}} = 1-\frac{1}{(n+1)^2}
כעת, ע"פ אי-שוויון ברנולי נקבל:
\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^n \geq 1-\frac{n}{(n+1)^2}
נחבר הכל ביחד ונקבל:
\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \geq \left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)\left(1+\frac{1}{n+1}\right) = 1+\frac{1}{(n+1)^3}>1
סה"כ נקבל:
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
כנדרש.