הוכחת אי שוויון באינדוקציה

[ran]

חג שמח אשמח לעזרה בהוכחה של אי השוויון הנ"ל:

\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<\left(1+\frac{1}{(n+1)}\right)^{n+1}

האם ניתן לפתור באינדוקציה? ניסיתי להניח עבור n ולהראות עבור n+1, אבל זה ממש מסתבך לי ואני לא מצליח.

אם קיימת דרך יותר ידידותית למשתמש אשמח לשמוע. תודה רבה.

[Zeta]

הדרך הכי פשוטה להוכיח את הזהות היא להשתמש באי-שוויון הממוצעים. אי שוויון הממוצעים הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי של סדרה סופית של מספרים. ע"פ אי שוויון הממוצעים, לכל קבוצה a_1,\dots,a_n של מספרים ממשיים חיוביים מתקיים:

\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\dots+\frac{1}{a_n}} \leq (a_1 \cdots a_n)^{1/n} \leq \frac{a_1+\dots+a_n}{n} \leq \sqrt {{{a_1}^2 + {a_2}^2 + \cdots + {a_n}^2} \over n}

מתוך אי-שויוון זה ניתן לקבל את הזהות \sqrt[n+1]{ab^n}<\frac{a+nb}{n+1} שנובעת מאי שוויון הממוצעים. נציב a=1,b=1+\frac{1}{n} ונקבל:

\sqrt[n+1]{1\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}<\frac{1+n(1+\frac{1}{n})}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}

סה"כ נקבל:

\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}

כנדרש.

[Gilad]

הפתרון של @Zeta פשוט באופן מדהים אבל אציע כאן דרך נוספת בעזרת אי-שויון ברנולי. במקרה ואתה צריך, באחד הפוסטים הקודמים קיימת הוכחה לאי-השוויון: הוכחת אי-שוויון ברנולי.
קודם כל, נשים לב כי מתקיים:

\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}} = 1-\frac{1}{(n+1)^2}

כעת, ע"פ אי-שוויון ברנולי נקבל:

\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^n \geq 1-\frac{n}{(n+1)^2}

נחבר הכל ביחד ונקבל:

\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \geq \left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)\left(1+\frac{1}{n+1}\right) = 1+\frac{1}{(n+1)^3}>1

סה"כ נקבל:

\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

כנדרש.

[Ben]

מאחר ויש שימוש בתגית “חדוא”, אציע כאן פתרון מהחשבון האינפיניטסימלי. אתה יכול להגדיר את הפונקציה f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x ולהראות כי לכל x>0 היא מונוטונית עולה.
נגזור את הפונקציה כך שנקבל:

f'(x)= \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\left[-1+(1+x)\log\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]}{1+x}

נוכיח כי לכל x>0, הנגזרת f'(x) היא חיובית ומכך תקבל כי הפונקציה f מונוטונית עולה, כלומר לכל x<y מתקיים f(x)<f(y). בפרט זה מתקיים עבור n<n+1 ומכך תקבל את הזהות המבוקשת.
לכל x\neq 0 מתקיים \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} > 0 וגם \left(\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) -\frac{1}{x+1}\right) > 0. לכן הנגזרת היא רציפה וחיובית לכל (-\infty, 0) \cup (0, \infty). לפיכך נובע:

\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} < \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}

[marbd]

הפתרונות האחרים מעולים אבל אם אתה צריך להוכיח באינדוקציה, הפתרון מסתבך ואתה תצטרך להשתמש בבינום של ניוטון:

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}

נוכיח באינדוקציה כי לכל n\in\mathbb{N} מתקיים:

\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<\left(1+\frac{1}{(n+1)}\right)^{n+1}

בסיס האינדוקציה: עבור n=1 מתקיים:

\left(1+\frac{1}{1}\right)^{1}=2<2.25=1.5^2<\left(1+\frac{1}{(1+1)}\right)^{1+1}

הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור n\in\mathbb{N}, כלומר נניח כי מתקיים:

\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<\left(1+\frac{1}{(n+1)}\right)^{n+1}

צעד האינדוקציה: נוכיח את נכונות הטענה עבור n+1, כלומר נראה כי מתקיים:

\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\frac{1}{(n+2)}\right)^{n+2}

נסמן: a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}. ע"פ הבינום של ניוטון מתקיים:

a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = \sum_{k=0}^n {n \choose k}\left(\frac{1}{n}\right)^{k}1^{n-k}=\sum_{k=0}^n {n \choose k}\left(\frac{1}{n}\right)^{k}

נפתח סוגריים ונקבל:

\begin{align} a_n &= 1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\ldots\\ & +\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right) \end{align}

כעת נעשה זאת עבור a_{n+1}, כך שנקבל:

\begin{align} a_{n+1}&= 1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)+\ldots\\ &\ +\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n+1}\right)\\ &\ +\frac{1}{(n+1)!}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{n}{n+1}\right)\\ &\geq 1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\ldots\\ & +\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)=a_n \end{align}

הוכחנו a_n<a_{n+1} עבור צעד האינדוקציה.
שים לב כי לא השתמשנו בהנחת האינדוקציה בשום שלב בהוכחה.
מקווה שמובן, בהצלחה