סדרת אתגרים במתמטיקה - אתגר רביעי

מתמטיקה
1

אתגר רביעי במתמטיקה של פורום SolX

ברוכים הבאים לאתגר הרביעי בסדרת אתגרים במתמטיקה. הזוכה של שבוע שעבר הוא @ran אשר הראה הוכחה אלגנטית ופשוטה (סדרת אתגרים במתמטיקה - אתגר שלישי). תודה רבה לכל מי ששיתף רעיונות ופתרונות :slight_smile:

מאחר והאתגר שבוע שעבר היה די קשה, השבוע ננסה להוכיח אי-שוויון יחסית בסיסי. אתם מוזמנים להשתמש בכל כלי שעומד לרשותכם.

בעיית השבוע: הוכיחו כי לכל x ממשי מתקיים:

1+x\leq e^x

את תשובתכם לשאלה, אתם מוזמנים לפרסם בתגובות של פוסט זה. זכרו כי תשובתיכם צריכה להיות מלאה, מפורטת ולהשתמש ב-\LaTeX. ראו מדריך כיצד להשתמש בכלי כאן.
בהצלחה לכולם! :slight_smile:

2

נוכיח שמתקיים 1+x\leq e^x לכל x\in \mathbb R
לפי אי-שוויון ברנולי עבור כל n\in \mathbb N ועבור \{x<-1 | x\in \mathbb{R} \} מתקיים:

1+x=1+n\frac{x}{n}\leq\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}

כמו כן מתקיים:

\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}

ולכן:

1+x\leq e^{x}

עבור \{x<-1 | x\in \mathbb{R} \} אי השוויון טריוויאלי ומתקיים:

1+x<0<e^{x}

הראינו כי 1+x\leq e^{x} עבור כל x ממשי, כנדרש.

הוכחה נוספת:

נסמן: f(x)=e^x-x-1

נגזור: f'(x)=e^x-1

הנגזרת מתאפסת כאשר x=0 וערך הפונקציה בנקודה זו הוא:

f(0)=e^0-0-1=0

נבדוק אם מדובר בערך קיצון:
f''(x)=e^x הנגזרת השניה חיובית עבור כל x ממשי, ולכן בנקודה x=0 לפונקציה f(x) יש נקודת מינימום. מתקיים לכל x ממשי:

0=f(0)\leq f(x)\\ 0\leq e^{x}-x-1\\ x+1\leq e^{x}

כנדרש.

3

הפתרון הכי פשוט ומהיר שאני יכול לחשוב עליו הוא בעזרת טור מקלורן של אקספוננט:

e^x=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!}=1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\geq1+x

הטענה טריוואלית עבור x חיובי. אבל אם x שלילי אז מאחר ולכל n\in\mathbb{N} מתקיים \frac{x^n}{n!}\geq\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}, אז כל זוגות כאלה מובילים למספר חיובי ובפרט גדול מאפס ולכן הטענה מתקיימת.

4

אפשר בעזרת אינטגלים. נפריד למקרים:

  • אם x\geq 0 אזי מתקיים:
\begin{align} e^x = 1 + \int_0^x e^t\,\mathrm dt &= 1 + \int_0^x\left( 1 + \int_0^t e^u \,\mathrm du\right)\,\mathrm dt \\&= 1+x + \int_0^x \int_0^t e^u\,\mathrm du\,\mathrm dt \ge 1+x\end{align}
  • אם x\leq 0 אזי מתקיים:
\begin{align}e^x = 1 - \int_x^0 e^t\,\mathrm dt &= 1 - \int_x^0\left( 1 - \int_t^0 e^u\,\mathrm du\right)\,\mathrm dt \\ &= 1+x + \int_x^0 \int_t^0 e^u\,\mathrm du\,\mathrm dt \ge 1+x\end{align}

לכן, לכל x ממשי מתקיים:

1+x\leq e^x
5

אפשר להשתמש במשפט הערך הממוצע של לגראנז’.
נגדיר את הפונקציה f(x)=e^x. לכל x>0 ממשי, הפונקציה f רציפה בקטע הסגור [0,x] וגזירה בקטע הפתוח (0,x). לכן ע"פ משפט הערך הממוצע של לגראנז’ קיימת נקודה c\in(0,x) כך שמתקיים:

f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\Rightarrow e^c=\frac{e^x-e^0}{x}=\frac{e^x-1}{x}

לכל c\in(0,x) מתקיים e^c\geq1 ולכן נקבל:

\frac{e^x-1}{x}\geq1

נעביר אגפים ונקבל:

e^x\geq x+1

כנדרש.