Zeta
17 במאי, 2020, 9:13pm
1
אתגר חמישי במתמטיקה של פורום SolX
ברוכים הבאים לאתגר החמישי והאחרון בסדרת אתגרים במתמטיקה . הזוכה של שבוע שעבר הוא @ran אשר סיפק הוכחה אלמנטרית (סדרת אתגרים במתמטיקה - אתגר רביעי ). תודה רבה לכל מי ששיתף רעיונות ופתרונות
השבוע ננסה להוכיח זהות טריגונומטרית. אתם מוזמנים להשתמש בכל כלי שעומד לרשותכם.
בעיית השבוע : הוכיחו כי מתקיים:
\cos^6x+\sin^6x=1-3\sin^2x \cos^2x
את תשובתכם לשאלה, אתם מוזמנים לפרסם בתגובות של פוסט זה. זכרו כי תשובתיכם צריכה להיות מלאה, מפורטת ולהשתמש ב-\LaTeX . ראו מדריך כיצד להשתמש בכלי כאן .
בהצלחה לכולם!
ran
17 במאי, 2020, 10:11pm
2
\cos^{6}x+\sin^{6}x=(\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x))^{3}-3(\cos^{4}(x)\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)\sin^{4}(x))\\
\cos^{6}x+\sin^{6}x=1-3[(\cos^{2}(x))^{2}\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)\sin^{4}(x)]\\
\cos^{6}x+\sin^{6}x=1-3\sin^{2}(x)[(\cos^{2}(x))^{2}+\cos^{2}(x)\sin^{2}(x)]\\
\cos^{6}x+\sin^{6}x=1-3\sin^{2}(x)[\cos^{2}(x)(\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x))]\\
\cos^{6}x+\sin^{6}x=1-3\sin^{2}(x)\cos^{2}(x)
marbd
19 במאי, 2020, 7:16am
3
הפתרון קל עבור מי שזוכר נוסחאות כפל מקוצר:
\begin{align}
a^2+b^3 &=(a+b)(a^2+b^2−ab) =(a+b)((a+b)^2−2ab−ab)\\
&=(a+b)^3−3ab(a+b)
\end{align}
נציב a=\sin^2 x וגם b=\cos^2x ונקבל:
\left(\sin^2x\right)^3+\left(\cos^2x\right)^3=\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^3-3\sin^2x\cos^2x\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^3
מצד שמאל נפתח סוגריים ומצד ימין נשתמש בזהות \sin^2x+\cos^2x=1 כך שנקבל:
\sin^6x+\cos^6x=1-3\sin^2x\cos^2x
כנדרש.