סדרת אתגרים במתמטיקה - אתגר חמישי

אתגר חמישי במתמטיקה של פורום SolX

ברוכים הבאים לאתגר החמישי והאחרון בסדרת אתגרים במתמטיקה. הזוכה של שבוע שעבר הוא @ran אשר סיפק הוכחה אלמנטרית (סדרת אתגרים במתמטיקה - אתגר רביעי). תודה רבה לכל מי ששיתף רעיונות ופתרונות :slight_smile:

השבוע ננסה להוכיח זהות טריגונומטרית. אתם מוזמנים להשתמש בכל כלי שעומד לרשותכם.

בעיית השבוע: הוכיחו כי מתקיים:

\cos^6x+\sin^6x=1-3\sin^2x \cos^2x

את תשובתכם לשאלה, אתם מוזמנים לפרסם בתגובות של פוסט זה. זכרו כי תשובתיכם צריכה להיות מלאה, מפורטת ולהשתמש ב-\LaTeX. ראו מדריך כיצד להשתמש בכלי כאן.
בהצלחה לכולם! :slight_smile:

\cos^{6}x+\sin^{6}x=(\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x))^{3}-3(\cos^{4}(x)\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)\sin^{4}(x))\\ \cos^{6}x+\sin^{6}x=1-3[(\cos^{2}(x))^{2}\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)\sin^{4}(x)]\\ \cos^{6}x+\sin^{6}x=1-3\sin^{2}(x)[(\cos^{2}(x))^{2}+\cos^{2}(x)\sin^{2}(x)]\\ \cos^{6}x+\sin^{6}x=1-3\sin^{2}(x)[\cos^{2}(x)(\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x))]\\ \cos^{6}x+\sin^{6}x=1-3\sin^{2}(x)\cos^{2}(x)

הפתרון קל עבור מי שזוכר נוסחאות כפל מקוצר:

\begin{align} a^2+b^3 &=(a+b)(a^2+b^2−ab) =(a+b)((a+b)^2−2ab−ab)\\ &=(a+b)^3−3ab(a+b) \end{align}

נציב a=\sin^2 x וגם b=\cos^2x ונקבל:

\left(\sin^2x\right)^3+\left(\cos^2x\right)^3=\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^3-3\sin^2x\cos^2x\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^3

מצד שמאל נפתח סוגריים ומצד ימין נשתמש בזהות \sin^2x+\cos^2x=1 כך שנקבל:

\sin^6x+\cos^6x=1-3\sin^2x\cos^2x

כנדרש.