נוכיח שמתקיים 1+x\leq e^x לכל x\in \mathbb R
לפי אי-שוויון ברנולי עבור כל n\in \mathbb N ועבור \{x<-1 | x\in \mathbb{R} \} מתקיים:
1+x=1+n\frac{x}{n}\leq\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}
כמו כן מתקיים:
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}
ולכן:
1+x\leq e^{x}
עבור \{x<-1 | x\in \mathbb{R} \} אי השוויון טריוויאלי ומתקיים:
1+x<0<e^{x}
הראינו כי 1+x\leq e^{x} עבור כל x ממשי, כנדרש.
הוכחה נוספת:
נסמן: f(x)=e^x-x-1
נגזור: f'(x)=e^x-1
הנגזרת מתאפסת כאשר x=0 וערך הפונקציה בנקודה זו הוא:
f(0)=e^0-0-1=0
נבדוק אם מדובר בערך קיצון:
f''(x)=e^x הנגזרת השניה חיובית עבור כל x ממשי, ולכן בנקודה x=0 לפונקציה f(x) יש נקודת מינימום. מתקיים לכל x ממשי:
0=f(0)\leq f(x)\\
0\leq e^{x}-x-1\\
x+1\leq e^{x}
כנדרש.