כיצד לחשב גבול של סדרה?

היי אשמח לעזרה בחישוב הגבול הבא:

\lim_{n\to\infty}\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\ldots+\sqrt[n]{n}}{n}

תודה רבה :slight_smile:

נוכיח טענה כללית יותר:
תהי \{a_n\}_{n=1}^{\infty} המתכנסת לגבול L. אזי גם הסדרה u_n = \frac{a_1+...+a_n}{n} מתכנסת ל-L.

הוכחה:
מאחר ו-a_n מתכנסת היא חסומה (אינטואיציה: בחר אפסילון, קיים N כך שממנו והלאה כל האיברים חסומים, ולפניו יש מספר סופי של איברים אז ניתן לקחת מקסימום מביניהם).
לכן קיים M חיובי כך ש- |a_n|<M לכל n.
יהי \varepsilon>0. אזי קיים n_1 כך שממנו והלאה מתקיים |a_n-L|<\frac{\varepsilon}{2}.
המספר M קבוע ולכן כך גם 2Mn_1, ולכן הסדרה \frac{2Mn_1}{n} שואפת לאפס. לכן ניתן לומר שקיים n_2 שממנו והלאה מתקיים \frac{2Mn_1}{n}<\frac{\varepsilon}{2}.
נגדיר n_0 להיות המקסימום בין n_1 ו-n_2. אזי לכל n>n_0 מתקיים:

|u_n-L|=|\frac{a_1+...+a_n}{n} - L| = |\frac{a_1+...+a_n-nL}{n}|\\ = |\frac{(a_1-L)+...+(a_n-L)}{n}| \\ \leq |\frac{|a_1-L|+|a_2-L|+...+|a_{n_1}-L|+|a_{n_1 + 1}-L|+...+|a_n-L|}{n} \\ = \frac{|a_1-L|+...+|a_{n_1}-L|}{n} + \frac{|a_{n_1 + 1}-L| +... + |a_n-L|}{n}\\ < \frac{2M+...+2M}{n} + \frac{\frac{\varepsilon}{2}+...+\frac{\varepsilon}{2}}{n}\\ = \frac{2Mn_1}{n} + \frac{(n-n_1)\frac{\varepsilon}{2}}{n}\\ \leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon

לכן, מאחר ו-\sqrt[n]{n}\to 1 נקבל את הדרוש.

דרך נוספת להוכיח כי הגבול הוא 1, הוא להשתמש במשפט שטולץ. נגדיר:

a_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt[k]{k}\right),\,\,\,b_n=n

הסדרה b_n היא מונוטונית עולה ששואפת לאינסוף. כעת, נשים לב כי מתקיים:

\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\frac{\sum_{k=1}^{n+1}\left(\sqrt[k]{k}\right)-\sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt[k]{k}\right)}{(n+1)-n}=\sqrt[n+1]{n+1}\to 1

מאחר והסדרה \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} מתכנסת ל-1 נובע ע"פ משפט שוטלץ כי מתקיים:

\lim_{n\to\infty}\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\ldots+\sqrt[n]{n}}{n}=1

נ.ב, שאלה דומה מאוד הופיעה באתגר המתמטיקה שעשינו בתחילת השנה בפורום. מוזמן להציץ שם כדי לקבל השראה.

תודה רבה על התשובה :slight_smile:
האם יש דרך נוספת לעשות זאת? כי לא למדנו את המשפט ולא בטוחה שנוכל להשתמש בו