היי אשמח לעזרה בחישוב הגבול הבא:
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\ldots+\sqrt[n]{n}}{n}
תודה רבה 
נוכיח טענה כללית יותר:
תהי \{a_n\}_{n=1}^{\infty} המתכנסת לגבול L. אזי גם הסדרה u_n = \frac{a_1+...+a_n}{n} מתכנסת ל-L.
הוכחה:
מאחר ו-a_n מתכנסת היא חסומה (אינטואיציה: בחר אפסילון, קיים N כך שממנו והלאה כל האיברים חסומים, ולפניו יש מספר סופי של איברים אז ניתן לקחת מקסימום מביניהם).
לכן קיים M חיובי כך ש- |a_n|<M לכל n.
יהי \varepsilon>0. אזי קיים n_1 כך שממנו והלאה מתקיים |a_n-L|<\frac{\varepsilon}{2}.
המספר M קבוע ולכן כך גם 2Mn_1, ולכן הסדרה \frac{2Mn_1}{n} שואפת לאפס. לכן ניתן לומר שקיים n_2 שממנו והלאה מתקיים \frac{2Mn_1}{n}<\frac{\varepsilon}{2}.
נגדיר n_0 להיות המקסימום בין n_1 ו-n_2. אזי לכל n>n_0 מתקיים:
|u_n-L|=|\frac{a_1+...+a_n}{n} - L| = |\frac{a_1+...+a_n-nL}{n}|\\ = |\frac{(a_1-L)+...+(a_n-L)}{n}| \\ \leq |\frac{|a_1-L|+|a_2-L|+...+|a_{n_1}-L|+|a_{n_1 + 1}-L|+...+|a_n-L|}{n} \\ = \frac{|a_1-L|+...+|a_{n_1}-L|}{n} + \frac{|a_{n_1 + 1}-L| +... + |a_n-L|}{n}\\ < \frac{2M+...+2M}{n} + \frac{\frac{\varepsilon}{2}+...+\frac{\varepsilon}{2}}{n}\\ = \frac{2Mn_1}{n} + \frac{(n-n_1)\frac{\varepsilon}{2}}{n}\\ \leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
לכן, מאחר ו-\sqrt[n]{n}\to 1 נקבל את הדרוש.
תודה רבה על התשובה
האם יש דרך נוספת לעשות זאת? כי לא למדנו את המשפט ולא בטוחה שנוכל להשתמש בו
דרך נוספת להוכיח כי הגבול הוא 1, הוא להשתמש במשפט שטולץ. נגדיר:
a_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt[k]{k}\right),\,\,\,b_n=n
הסדרה b_n היא מונוטונית עולה ששואפת לאינסוף. כעת, נשים לב כי מתקיים:
\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\frac{\sum_{k=1}^{n+1}\left(\sqrt[k]{k}\right)-\sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt[k]{k}\right)}{(n+1)-n}=\sqrt[n+1]{n+1}\to 1
מאחר והסדרה \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} מתכנסת ל-1 נובע ע"פ משפט שוטלץ כי מתקיים:
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\ldots+\sqrt[n]{n}}{n}=1
נ.ב, שאלה דומה מאוד הופיעה באתגר המתמטיקה שעשינו בתחילת השנה בפורום. מוזמן להציץ שם כדי לקבל השראה.