דרך נוספת להוכיח כי הגבול הוא 1, הוא להשתמש במשפט שטולץ. נגדיר:
a_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt[k]{k}\right),\,\,\,b_n=n
הסדרה b_n היא מונוטונית עולה ששואפת לאינסוף. כעת, נשים לב כי מתקיים:
\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\frac{\sum_{k=1}^{n+1}\left(\sqrt[k]{k}\right)-\sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt[k]{k}\right)}{(n+1)-n}=\sqrt[n+1]{n+1}\to 1
מאחר והסדרה \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} מתכנסת ל-1 נובע ע"פ משפט שוטלץ כי מתקיים:
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\ldots+\sqrt[n]{n}}{n}=1
נ.ב, שאלה דומה מאוד הופיעה באתגר המתמטיקה שעשינו בתחילת השנה בפורום. מוזמן להציץ שם כדי לקבל השראה.